２. 直流回路入門
水道から流れ出す水のように、いつも同じ向きと大きさで電流が流れている回路を「直流回路」と呼びます。
略してオーム則とも呼びます。回路を考えるとき、オーム則は何度と無く使います。このため、瞬間的に使えるようにしておくと、スラスラと回路が読めます。
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オーム則は、次のように考えることで、経験が浅くても素早く使えます。 ・電圧が出てきたら、必ず割られる ・電圧が出てこなければ、双方を掛ける |
電圧は割られる！ |
の２つです。例えば、次表のように使います。
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状況 |
考え方 |
計算 |
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１２Ｖで４Ａ流れた |
電圧の１２は割られる |
１２÷４＝３Ω |
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３Ωに１２Ｖが掛かった |
電圧の１２は割られる |
１２÷３＝４Ａ |
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３Ωに４Ａ流れた |
電圧が出てこない（掛ける） |
３×４＝１２Ｖ |
Ｅｘｃｅｌに「指数」で入力することで、単位接頭語（本項と次項でのみ、単に「単位」と書きます）を手早く処理できます。たとえば、５μＡなら、5E-6、と、２２０ｋＶなら、220E3というように、値の後に（「単位」に対応した）「指数」（E3等）を付けて入力します。例えば「E3」は「1000」（ゼロ３つ）「E-3」なら「0.001」（１の前にゼロ３つ）を意味します。下表に、単位に対応する指数を示します。
単位を指数で入力する
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単位 |
f フェムト |
p ピコ |
n ナノ |
μ マイクロ |
m ミリ |
k キロ |
M メガ |
G ギガ |
T テラ |
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指数 |
E-15 |
E-12 |
E-9 |
E-6 |
E-3 |
E3 |
E6 |
E9 |
E12 |
単位を指数で入力した場合、Ｅｘｃｅｌには裸の値（１０ｋなら、１００００）が入力されています。
指数を入力したセルや、指数を元に計算したセルの表示形式は、自動的に「指数」に変更されます。指数ではなく、ゼロを並べて表示したいときは、表示形式を「標準」に設定します。（但し、「標準」に設定しても、とても大きな数字やとても小さな数字は指数で表示されます）逆に強制的に指数で表示させたいときは、セルの表示形式を「指数」に指定します。
（セルの表示形式は、セルを選択して、右クリックし、セルの書式設定ショートカットメニューを選択し、セルの書式設定ダイアログボックスで、表示形式タブを選択して、分類ボックスで指定します。）
Ｅｘｃｅｌの入力と表示
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値 |
入力 |
標準表示 |
指数表示 |
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４８ｋΩ |
48E3 |
48000 |
4.80E+04 |
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１００ｐＡ |
100E-12 |
1E-10 |
1.00E-10 |
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４７μＶ |
47E-6 |
0.000047 |
4.70E-05 |
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０．０２２ｎＦ |
0.022E-9 |
2.2E-11 |
2.20E-11 |
Ｅｘｃｅｌでオーム則を計算した例を示します。まず、下表のように値を指数を使って入力します。この例では、１行目は見出しです。２行目を使って、１ｍＶを１００ｋΩで割って、流れる電流を求めています。
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Ａ |
Ｂ |
Ｃ |
Ｄ |
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１ |
電圧１ｍＶ |
抵抗１００ｋΩ |
電流の値［Ａ］ |
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２ |
1E-3 |
100E3 |
=A2/B2 |
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Ｅｘｃｅｌは結果を次のように示します。
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Ａ |
Ｂ |
Ｃ |
Ｄ |
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１ |
電圧１ｍＶ |
抵抗１００ｋΩ |
電流の値［Ａ］ |
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２ |
1.00E-03 |
1.00E+05 |
1.00E-08 |
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Ｂ２セルを見ると、入力したとおりには表示されない事が分ります。（100E3と入力したけれど、1.00E+5と表示されている、どちらも値は100000）つまり、Ｅｘｃｅｌは入力した形式までは覚えておらず、入力した値を覚えているだけです。
Ｃ２セルに表示される計算結果1.00E-08［Ａ］は、そのままでは分かり難い値です。そこで、［ｎＡ］を使って表示させます。項初の「単位を指数で入力する」の表によればn（ナノ）はE-9でした。ですから逆に、裸の値に1E+9を掛けてやれば、［ｎＡ］で表示することができます。そこで、次表Ｄ２のように入力します。
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Ａ |
Ｂ |
Ｃ |
Ｄ |
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１ |
１ｍＶ |
１００ｋΩ |
電流の値［Ａ］ |
電流の値［ｎＡ］ |
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２ |
1E-3 |
100E3 |
=A2/B2 |
=C2*1E9 |
すると、Ｅｘｃｅｌは次のように表示します。
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Ａ |
Ｂ |
Ｃ |
Ｄ |
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１ |
１ｍＶ |
１００ｋΩ |
電流の値［Ａ］ |
電流の値［ｎＡ］ |
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２ |
1.00E-03 |
1.00E+05 |
1.00E-08 |
1.00E+01 |
指数を元に計算したので、Ｄ１セルの表示形式も自動的に指数に設定されています。Ｄ１セルの表示形式を標準に設定すると、次表のように１０と表示されます。
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Ａ |
Ｂ |
Ｃ |
Ｄ |
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１ |
１ｍＶ |
１００ｋΩ |
電流の値［Ａ］ |
電流の値［ｎＡ］ |
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２ |
1.00E-03 |
1.00E+05 |
1.00E-08 |
10 |
このように、裸の値に、単位に対応した指数の、Ｅの後の符号を逆にして掛けると、その単位で表すことができます。このような、裸の値に掛けて単位で表示する場合の指数を次表に示します。
裸の値を単位で表示する
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単位 |
f |
p |
n |
μ |
m |
k |
M |
G |
T |
|
指数 |
1E15 |
1E12 |
1E9 |
1E6 |
1E3 |
1E-3 |
1E-6 |
1E-9 |
1E-12 |
※「単位を指数で入力する」ときの表の、Eの後の符号を逆にしただけです。
※２００７以降のＥｘｃｅｌではCONVERT関数を使った変換も可能です。
３.１. 練習（オーム則と単位）
次表は、見出しに記載の２つの値を元に、オーム則で計算した値を示す表です。例えば、見出しに太枠で示す１２Ｖと３Ωからオーム則で計算した結果が、表中に太枠で示す４Ａです。
この表にはいくつか間違いがあります。間違っている値を指摘してください。
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12μV |
3kΩ |
12V |
3Ω |
12mV |
3MΩ |
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4μA |
3Ω |
12mV |
3MΩ |
12μV |
3kΩ |
12V |
|
3MΩ |
4mA |
|
4μA |
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4nA |
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4A |
3μΩ |
12kV |
3Ω |
12V |
3mΩ |
12kV |
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3Ω |
4μA |
|
4A |
|
4mA |
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4mA |
3mΩ |
12V |
3Ω |
12mV |
3Ω |
12kV |
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3kΩ |
4nA |
|
4mA |
|
4μA |
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３.２. 答
下表に、誤りのある値を下線で示します。
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12μV |
3kΩ |
12V |
3Ω |
12mV |
3MΩ |
|
4μA |
3Ω |
12mV |
3MΩ |
12μV |
3kΩ |
12V |
|
3MΩ |
4mA |
|
4μA |
|
4nA |
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|
4A |
3μΩ |
12kV |
3Ω |
12V |
3mΩ |
12kV |
|
3Ω |
4μA |
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4A |
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4mA |
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4mA |
3mΩ |
12V |
3Ω |
12mV |
3Ω |
12kV |
|
3kΩ |
4nA |
|
4mA |
|
4μA |
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ここではＥｘｃｅｌを使わず暗算で単位やオーム則を使う方法を説明します。Ｅｘｃｅｌを使って計算を繰り返していると、自然とできるようになりますが、本項のコツを意識することで、より短期間で慣れることができます。
まず、数字同士計算し、次にこれとは別に、単位同士を計算します。Ｅｘｃｅｌを使う方法でも使用した、各単位の乗数を下表に示します。
主な単位接頭語とその乗数
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単位 |
f |
p |
n |
μ |
m |
k |
M |
G |
T |
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乗数 |
(-15) |
(-12) |
(-9) |
(-6) |
(-3) |
(3) |
(6) |
(9) |
(12) |
たとえば、10kVで2mA流れた場合、抵抗はオーム則で
と計算して求めますが、まず数字だけに注目して、
と計算し、次に単位だけを
と計算して、両者を合わせて5MΩと答を出します。
上で使用した等の「単位の計算」は自然と覚えますが、慣れるまでは、乗数で計算します。今回の例では下図のように、
を
と考え、分母の(-3)の符号は反転して(+3)から合算して、(6)=Mと考えます。
別の例として、3kΩ×4μA の場合なら、数字の部分は「3×4」で12です。単位の部分は「k×μ＝m」ですから（覚えるまでは (3)+(-6) = (-3) = mと考える）3kΩ×4μA=12mAと暗算できます。
参考までに頻度の高い単位の計算を次表白色部に示します。もちろん意識するだけで良いので、下表を暗記する必要はありません。
単位の計算（グレーの欄はあまり使わない）
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電子系の回路図では、電源とグラウンドの配線は記号で表し、電源（電池マーク）は記入しない場合が大半です。たとえば、練習で登場した下図（ａ）の回路は、下図（ｂ）のように簡素に描かれます。
また、電圧が高い部分程、回路図の上部に描くと（回路図は大きくなりますが）回路が読み易くなります。
５.１. 練習
下図の回路図を、見易く書き直してください。
５.２. 答
回路図を読むときは、電流や電圧を書き込みながら読みます。本書では、電流は矢印 
で、電圧は尻尾に棒のついた矢印 
で示します。
尚、電圧を両矢印 
で示す方法もありますが、この方法では電圧の方向が分らないので、本書では使いません。
本書では、交流と直流を一つの回路に示す必要がある場合、直流を実線 
で、交流を点線 
で示します。
複数の抵抗を接続して得られる抵抗値を、合成抵抗と呼びます。直列に接続した場合は直列合成抵抗で、その抵抗値は、各抵抗の和で求めることができます。
下図に示すように、直列に接続した各抵抗には、抵抗値に比例した電圧が発生します。
８.１. 練習（分圧）
分圧で、3.3kの両端に得られる電圧を求めてください。
８.２. 答
下図のように、回路上の一点から流れ出す電流の合計（３Ａ＋２Ａ）は、流れ込む電流の合計（５Ａ）と同じになります。
下図のように互いに（太線部で）接続された２つの回路では、左右の電圧が同じになる（左６Ｖ、右６Ｖ）という法則です（あたりまえですね）。「各部品の電圧を合計すると、全体の電圧になる」法則と考えることもできます。（左側が４Ｖ＋２Ｖ＝６Ｖ、右側が５Ｖ＋１Ｖ＝６Ｖ）
このようにキルヒには電流則と電圧則がありますが、本書で単に「キルヒ則」と言った場合は、キルヒ電流則を指します。キルヒ電圧則は意識せずに使える場合が多いです。
１０.１. 練習
下図の回路の、①～③の電圧、電流、抵抗、を求めて下さい。
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番号 |
答 |
ヒント |
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① |
V |
キルヒ電圧則を使用 |
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② |
mA |
キルヒ電流則を使用 |
|
③ |
kΩ |
オーム則を使用 |
１０.２. 答
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番号 |
答 |
説明 |
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① |
５Ｖ |
キルヒ電圧則より、１５Ｖと１０Ｖの差で５Ｖ |
|
② |
５ｍＡ |
キルヒ電流則より、Ａ点に注目して、２０ｍＡと１５ｍＡの差で５ｍＡ |
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③ |
１ｋΩ |
オーム則より、５Ｖで１ｍＡだから１ｋΩ |
１０.３. 練習
下図の回路の、①～⑤の電圧、電流、抵抗、を求めて下さい。
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番号 |
答 |
ヒント |
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① |
ｍＡ |
オーム則を使用 |
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② |
ｍＡ |
キルヒ電流則を使用 |
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③ |
Ｖ |
キルヒ電圧則を使用 |
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④ |
Ｖ |
キルヒ電圧則を使用 |
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⑤ |
ｋΩ |
オーム則を使用 |
１０.４. 答
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番号 |
答 |
説明 |
|
① |
０．６ｍＡ |
オーム則より、１ｋΩに０．６Ｖが加わって、０．６ｍＡ |
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② |
１ｍＡ |
キルヒ電流則より、流れ出す電流が０．３ｍＡと０．６ｍＡだから、流れ込む電流は１ｍＡ |
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③ |
０．６Ｖ |
キルヒ電圧則より、０．６Ｖ |
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④ |
１Ｖ |
キルヒ電圧則より、③の０．６Ｖと④を加えると、１．６Ｖとなるから、１Ｖ |
|
⑤ |
１ｋΩ |
オーム則より、１Ｖで１ｍＡ流れるから、１ｋΩ |
抵抗は「電流の流れ難さ」ですが、コンダクタンスは「電流の流れ易さ」です。下表に「値の例」で示すように、抵抗の値が小さい程、コンダクタンスの値は大きくなります。つまり、抵抗とコンダクタンスの値には「逆数」の関係があります。
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名前 |
抵抗 （レジスタンス） |
コンダクタンス |
|
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イメージ |
電流の流れ難さ |
電流の流れ易さ |
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単位 |
Ω |
|
Ｓ |
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単位の読み |
OHM オーム |
MHO モー |
SEMENS ジーメンス |
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値の例 |
４Ω |
１／４Ｓ |
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１Ω |
１Ｓ |
||
|
１／４Ω |
４Ｓ |
||
上表にあるとおり、コンダクタンスの単位は（
とＳの）２つあります。Ω（ＯＨＭ）の逆数が （ＭＨＯ）というのは、お茶目で覚え易いため、是非使いたいのですが、
という文字が無いため、本書ではＳ（ジーメンス）を使います。
一本の抵抗器を「流れ難さΩ」で呼んでも、「流れ易さＳ」で呼んでもかまいません。つまり、部品店で４Ωの抵抗を購入する時に「４分の１ジーメンスの抵抗を下さい」と言っても良い訳です。ですから「抵抗（Ω）があれば、コンダクタンス（Ｓ）なんて要らないとや」と思い勝ちですが、実はこのコンダクタンス、並列回路でとても役に立ちます。
直列合成抵抗は合計するだけで求めることができましたが、並列合成抵抗はちょっと面倒でした。そこでコンダクタンス（通りやすさ）を使って考えてみます。コンダクタンスを使うと並列回路は合計するだけで計算できます。
下図の回路では、通りやすさ２Ｓと３Ｓの抵抗が並列に接続されています。道路に喩えれば、道幅２ｍと、３ｍの、２本の道路で目的地に繋がっている状態です。ですから、２本の道路を合わせて、道幅５ｍの道と同じだけの人が通れる筈です。
回路に話を戻すと、通りやすさ２Ｓの抵抗と３Ｓの抵抗が並列なので、並列にした通りやすさは５Ｓとなります。このように、コンダクタンス（流れ易さ）を合計するだけで、並列回路の計算ができました。答えをΩで出したい場合は、５Ｓの逆数を求めて、０．２Ωとなります。
さて、上図では抵抗の仕様が、流れ易さ（コンダクタンス：Ｓ：ジーメンス）で示されていました。次に、抵抗がいつも通り、流れ難さ（抵抗：Ω）で示されている場合を考えます。
下図の回路では、１Ωと４Ωが並列に接続されています。それぞれの抵抗値を、流れ易さに書き直すと、１Ｓと０．２５Ｓです。流れ易さを合計して、並列接続の流れ易さ（並列合成コンダクタンス）を計算すると、１．２５Ｓです。答えを流れ難さ（Ω）で出したい場合は、１．２５Ｓの逆数を求めて、並列合成抵抗は０．８Ωとなります。
上図の下部に並列合成抵抗を公式で求める方法を示します。実は公式の方法も、２つの抵抗値をコンダクタンスに変換してから合計し、合計で得たコンダクタンスを、もう一度抵抗値に戻している、と分ります。
並列抵抗の計算は次のように書く場合があります。
１Ω ／／ ４Ω ＝ ０．８Ω
「／／」は並列の抵抗値を計算する、という記号です。
１２.１. 練習
下図の回路の①～④のコンダクタンス、抵抗、電流を回路図内に記入してください。
１２.２. 答
①０．５Ｓと１．５Ｓが並列なので、２Ｓ
②２Ｓを逆数にして、０．５Ω
③４．５Ωと０．５Ωが直列なので５Ω
④５Ωに１０Ｖが加わっているので、２Ａ
直列抵抗に分圧の考え方があるように、並列抵抗には分流の考え方があります。下図に示すように、並列に接続した各抵抗には、コンダクタンス（流れ易さ）に比例した電流が流れます。
１３.１. 練習（分流）
下図の回路で、2kΩに流れる電流を回路図内に記入して下さい。
１３.２. 答
下図に示す、３つの電圧に繋がった、３本の抵抗の中点の電圧は、キルヒ則で連立方程式立てなくても、図中の公式で求めることができます。この公式は一見複雑そうですが、規則性があるので楽に覚えられます。
大文字ABCが電圧、小文字abcは抵抗値です。また、AbcはA×b×cの事です。（つまり、×は省略する場合があります）
抵抗が４本、５本と増えた場合はそれぞれ次のようになります。
１４.１. 練習（中点の電圧）
下図の回路に矢印で示す点の電圧を求めてください。
１４.２. 答
３. 直流回路
下図左側の装置は、ポンプで水を送り、１秒間に３Ｌ（リットル）の水を循環させています。流れる水の量は３Ｌ／秒です。蛇口を眺めていると、１秒あたり３Ｌの水が通過するのが見えます。
さて、「水の量」：Ｌ（リットル）に相当する電気の量を「電荷」：Ｃ（クーロン）と呼びます。下図右の回路では、１秒間に３Ｃ（クーロン）の電荷が通過しています。つまり、３Ｃ／秒です。私たちは、これを３Ａと呼んでいます。（つまり、３Ａ ＝ ３Ｃ／秒です）
毎秒３Ｌで５秒間流れると、１５Ｌの水が通過します。これと同様に、毎秒３Ｃ（３Ｃ／秒＝３Ａ）が５秒間流れると、１５Ｃの電荷が通過します。つまり、
通過した電荷［Ｃ］＝電流［Ａ］×時間［秒］
です。
１.１. 練習
５Ωの抵抗に１０Ｖを加えると、１分間で何クーロンの電荷が通過しますか。
１.２. 答
オーム則より、電流は１０Ｖ÷５Ω＝２Ａ。１分は６０秒だから、電荷は２Ａ×６０秒＝１２０Ｃ通過する。
コンデンサは下図のコップが水を蓄えるように、電荷を蓄える部品です。
コップでは水面の高さとコップの大きさ（底面積）を掛けると溜まった水の量を知ることができます。上図の例では、
コップの大きさ（底面積）５ｃｍ２ × 水面の高さ２ｃｍ ＝ 水の量１０ｃｍ３
となります。コンデンサでも同様に、溜まっている電荷は、電圧の高さとコンデンサの大きさ（容量）を掛けて求めることができます。
コンデンサの大きさ（容量）５Ｆ × 電圧の高さ２Ｖ ＝ 電荷の量１０Ｃ
もしこのコップに、毎秒１ｃｍ３の勢いで、１０秒間水を注ぐとと、水面が２ｃｍに上昇しますから、
水の勢い１ｃｍ３／秒 × １０秒 ／ コップの大きさ５ｃｍ２ ＝ 水面の高さ２ｃｍ
となります。水の勢い１ｃｍ３／秒は、電流１Ｃ／秒（つまり、１Ａ）のことですから、コンデンサでは、電流と時間を掛けて（流れ込んだ電荷を求めて）容量で割れば、上昇した電圧が計算できます。
電流１Ａ × 時間１０秒 ／ 容量５Ｆ ＝ 電圧の高さ（増加）２Ｖ
２.１. 練習
①１２Ｆのコンデンサに、２Ａの電流で１分間充電しました。（コンデンサに電流を流し込んでて、電荷を貯めることを充電すると言います）コンデンサに溜まった電荷は何クーロンですか。コンデンサは何ボルトに充電されますか。
②１００μＦのコンデンサが２０Ｖに充電されています。一定の電流１ｍＡで放電（コンデンサから電流を流れ出させ、コンデンサに溜まっている電荷を吐き出させることを、放電と言います）させれば、何秒で空（コンデンサの電荷がなくなる）になりますか。
２.２. 答
①１分は６０秒だから、溜まった電荷は２Ａ×６０秒＝１２０Ｃ。１２Ｆのコンデンサに１２０Ｃが蓄えられると、電圧は１０Ｖとなる。
②コンデンサに溜まっている電荷は、１００μＦ×２０Ｖで２ｍＣである。１ｍＡとは、１ｍＣ／秒のことだから、２ｍＣ÷１ｍＣ／秒＝２秒でコンデンサが空になる。
下図の回路ではコンデンサは最初８Ｖに充電されています。ここで、ＳＷをＯＮにすると、１Ωの抵抗を通じて、コンデンサが放電（コンデンサに溜まった電荷が電流で流れ出す）を始めます。
ＳＷをＯＮした瞬間、下図回路図の①のように、抵抗には８Ｖが掛かり８Ａの電流が流れます、その結果、グラフに①で示すように、コンデンサの電荷は８Ａの勢いで放電し、速やかに電圧が下がり始めます。
コンデンサが４Ｖまで放電すると、上図②のように、放電電流が４Ａに減少し、放電の勢いが弱まります。このように次第に勢いを弱めながら放電が続き、例えば、１Ｖまで放電すると、上図④のように、放電電流は１Ａに減少し、放電の勢いは極めてゆるやかになります。
このようにコンデンサに抵抗を接続すると、電圧が低下すると、放電する電流も減少するため、上図のグラフに点線で示すように、次第に勢いを弱らせながら、放電して行きます。
下図に放電の様子を簡素に示します。コンデンサの容量がＣ［Ｆ］，抵抗がＲ［Ω］の場合、下図に点線で示すように滑らかに放電します。
コンデンサの最初の電圧がＥ［Ｖ］の場合、スイッチＯＮからｔ秒後のコンデンサの電圧Ｅｃは、次の式で計算できます。（expは次第に勢いを弱らせる（強める）様子を計算する関数です。）
←この式は分らなくても良い
Ｅｘｃｅｌでは、=E1*EXP(-T1/C1/R1)で計算できます。
E1=最初の電圧［Ｖ］、T1=時間［秒］、C1=コンデンサの容量［Ｆ］、R1=抵抗値［Ω］
たとえば、たとえば、１０μコンデンサを１００Ｖに充電して、１００ｋΩで１秒放電した場合は、Ｅｘｃｅｌに=100*EXP(-1/10E-6/100E3)と入力して、約３７Ｖまで電圧が下がると計算できます。
逆に、コンデンサが所定の電圧に放電するまでの時間を計算することもできます。（lnはexpの逆の働きをする関数です。）
←この式は分らなくても良い
Ｅｘｃｅｌでは、=-C1*R1*ln(E2/E1)で計算できます。
E1=最初の電圧［Ｖ］、E2=所定の電圧［Ｖ］、C1=コンデンサの容量［Ｆ］、R1=抵抗値［Ω］
たとえば、１０μのコンデンサを１００Ｖに充電して、１００ｋΩで放電して６０Ｖに電圧が下がるまでの時間は、Ｅｘｃｅｌに=-10E-6*100E3*LN(60/100)と入力して、約０．５１秒と計算できます。
３.１. 練習
Ｅｘｃｅｌを用いて、下図の回路のスイッチをＯＮにした後の放電の様子を１０ｍ秒毎に計算し、グラフに示してください。
３.２. 答
Ｅｘｃｅｌに下図のように入力します。A2、A4、A6のセルは絶対参照なので、Ｆ４キーを押して、$A$4等とします。
計算させ、グラフを表示させると、下図のようになります。
時定数は、じていすう、ときていすう、ときじょうすう、と読み方が様々にありますが、どれも正しいとされています。記号はτ（タウ）です。
ＣＲ回路は最初は勢い良く放電を開始し、次第に放電の勢いを弱めて行きますが、「時定数τ」は下図のグラフに太い点線で示すように、「もし、最初の勢いのまま放電し続けたら、何秒で放電が終了するか」を表しています。放電のグラフを手で書くときに、この時間τが分ると便利です。
τの値は、ＣとＲを掛けて求める事ができます。
τ［秒］ ＝ Ｃ［Ｆ］×Ｒ［Ω］
さらに、最初の電圧を１００Ｖとして、スイッチをＯＮにしてからτ（＝Ｃ×Ｒ）秒経過したときのコンデンサの電圧を計算すると、
１００ × ｅｘｐ（－ＣＲ／ＣＲ）＝ Ｅ × ｅｘｐ（－１）＝ 約３７
Ｅｘｃｅｌでは=100*EXP(-1)で36.78…と表示される。
となり、τ秒経つと、コンデンサの電圧は最初の３７％まで低下します。（さらにτ秒経つと、さらにその３７％まで低下し、これを繰り返して放電して行きます。）このように時定数の値は、回路の動作を調べるのにとても役に立ちます。
コンデンサ容量[Ｆ]と抵抗[Ω]を掛けると、時間[秒]が求まるのは、奇妙な感じですが、容量＝電荷／電圧また、電荷＝電流×時間であることから、次のように考えることができます。
４.１. 練習
先の練習問題（Ｃ＝１００μＦ、Ｒ＝１ｋΩ）の回路の時定数τを求め、放電開始からτ秒後のコンデンサの電圧を練習問題の答のグラフから求めてください。最初の電圧の何％に低下していますか？
時定数τ ｍ秒 グラフから求めた電圧 Ｖ 電圧の割合 ％
４.２. 答
時定数τ＝１００μＦ×１ｋΩ＝１００ｍ秒
時定数τ １００ｍ秒 グラフから求めた電圧 ３．７Ｖ 電圧の割合 ３７％
下図左側の回路でスイッチをＯＮにすると、抵抗を通して電流が流れ、コンデンサが充電されて行きます。
また、下図右側に示すとおり、コンデンサ放電のグラフを上下逆にすると、今回のコンデンサ充電のグラフになります。
上下逆になったために、時定数τ後の充電電圧は、最初の電圧の63%となります。（充電されずに残っている電圧が37%です）また、コンデンサの充電電圧Ｅｃは、電池の電圧をＥ［Ｖ］とすると、
Ｅｘｃｅｌでは、=E1*(1-exp(-T1/C1/R1))で計算できます。
E1=電池の電圧［Ｖ］、T1=時間［秒］、C1=コンデンサの容量［Ｆ］、R1=抵抗値［Ω］
で計算できます。
５.１. 練習
下図の回路でＳＷをＯＮにした後のコンデンサの電圧の変化を、１ｍ秒毎にＥｘｃｅｌで計算しグラフを描いてください。
５.２. 答
抵抗が１００ｋΩ、コンデンサが０．１μ、電源が１００Ｖだから、Ｅｘｃｅｌで、ＯＮ後の時間を時間をＢ２セルに入れれば、充電電圧は=100*(1-(exp(-B2/100E3/0.1E-6))で計算できる。ｔの値を次第に大きくして、例えば下図のようにＥｘｃｅｌに入力し、計算させる。（下図ではＣとＲもセルから与えている）
計算結果は次のようになる。
５.３. ｅｘｐ関数を使わない解き方（シミュレーション）
本項は余談です。興味がなければ読み飛ばすことができます。
この問題は下図のシートを使えば、exp関数を使わずにシミュレーションという方法でも解くことができます。シミュレーションですから、入力電圧の変化も任意に設定できます。
Ａ列に時間（１ｍ秒ずつ増大）、Ｂ列に入力電圧（自由な変化が可能）を入力し、Ｅ２セルにコンデンサの電荷の初期値（ここでは０クーロン：空っぽ）を入力します。
Ｃ列の抵抗の電圧は、入力電圧とコンデンサの電圧の差ですから、=B2-F2、Ｆ列のコンデンサの電圧はコンデンサ電荷／容量なので、=E2/0.1E-6と式を設定します。
ポイントはＥ３セルのコンデンサの電荷です。「コンデンサの電流×時間＝コンデンサに流れ込んだ電荷」という点と「流れ込んだ電荷の分、コンデンサの電荷は増える」という２点を考えて、電流のＤ２に（１行当たりの）時間（ここでは、Ａ３－Ａ２で１ｍ秒と）を掛けてコンデンサに流れ込んだ電荷を求め、さらに直前の電荷（真上のセルＥ２）に加えて、=E2+D2*(A3-A2)と入力します。
入力した値や式を下方向にコピーしてシートを完成し、計算してグラフを描かせると、下図に示すとおり、充電の様子が正しく計算されました。
電圧の変化に対して、１行当たりの時間が十分細かくないと正しく計算できませんから、ゆっくりと電圧や電流が変化する程度に、１行当たりの時間（ここでは１ｍ秒）を調節します。
実は、exp関数を使うより、こちらの方が（四則演算しか出てきませんし、電流、電圧、電荷の単純な関係だけを入力すれば良いから）分り易いのです。このような簡単な計算から、ｅｘｐ関数の曲線が出てくるのは、私達の代わりに、Ｅｘｃｅｌが微分方程式を解いてくれているからです。（微分方程式は、フリコの構造を元に、フリコの振動を求めるような計算です）その上この方法、「倒立振子を安定させる制御を検討する」とか、相当すごい事までできるんです。
５.４. 練習
下図の回路の放電の様子をＥｘｃｅｌでシミュレーションし、コンデンサの電圧をグラフで表示してください。
５.５. 答
コンデンサの電荷が、抵抗に流れる電流×時間ずつ減少することを考えて、次のようなシートを作成する。
計算させてグラフを描くと下図のように放電の様子が表示される。
下図の回路でＳＷをＯＮにすると、分圧の法則から、コンデンサは５Ｖを目指して充電されることは分ります。後は、時定数が計算できれば、充電の様子も分ります。
しかし、上図のままでは抵抗が２本あり、時定数が計算できません。そこで、上図の点線で囲んだ部分を、下図に示すテブナンの定理を使って、一本の抵抗に置き換えます。
先ず、上図（ａ）に示すように、電池を電線に置き換えます。すると、上図（ｂ）のように、右側から見た抵抗値は、２０ｋΩと５ｋΩが並列に見えるので、４ｋΩとなります。最後に、上図（ｃ）のように、端子に加わる電圧（５Ｖ）の電池を接続し直します。
このように、電池と抵抗を複雑に組み合わせた回路も、１本の電池と抵抗の直列回路で表すことができます。これがテブナンの定理です。この置き換えを行うと、検討中の回路は下図のようになります。
上図の通り、４ｋΩを通して１００μＦを充電するので、時定数は４００ｍ秒で、充電の様子は上図右側のグラフのようになります。
６.１. 練習
下図（ａ）回路を端子から見た電圧と内部抵抗を、下図（ｂ）のように単純に置き換えると、電圧と抵抗はいくらになりますか。
電圧 Ｖ 抵抗値 Ω
６.２. 答
まず、端子の電圧を考える。下図（ａ）のとおり、下側の並列合成抵抗は１ｋΩ、従って電池の１０Ｖが１ｋΩと１ｋΩで分圧されて、端子には５Ｖが出力される。
次に、電池を電線に置き換えると、上図（ｂ）の回路となり。入力端子から見た抵抗値は、３つの抵抗の並列合成抵抗で、５００Ωとなる。
電圧 ５Ｖ 抵抗値 ５００Ω
重ね合わせの原理は、電池が複数ある回路の電流を簡単に求める方法です。「複数の電池が働いている回路に流れる電流は、それぞれの電池が１つだけ働いて流れた電流を合計すれば計算できる」という考え方です。電圧と電流が比例する（つまり、オーム則が通用する）回路であればいつでも利用できます。
具体的にはまず、複数の電池のどれか１つだけに注目し、それ以外の電池は「導線」と考えて、各部の電流を求めます。次に、別の電池に注目し、それ以外の電池は「導線」と考えて、各部の電流を求めます。このように全ての電池に順に注目して電流を求めます。最後に、これまでに求めた電流を合計すれば、全ての電池が活動したときの電流が分ります。
下図の例では６Ｖと１２Ｖの２つの電池が働いています。ここでは、Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３に流れる電流を重ね合わせの原理で求めます。
各部の電流は、下図（ａ）（ｂ）（ｃ）に示す３段階で考えます。まず（ａ）では６Ｖの電池に注目して、それ以外の（１２Ｖの）電池は導線であると考え、各部の電流を求めます。次に（ｂ）では１２Ｖの電池に注目して、それ以外の（６Ｖの）電池は導線であると考え、各部の電流を求めます。最後に（ｃ）で、（ａ）で求めた電流と（ｂ）で求めた電流を合計すれば、電池が２つとも活動しているときの各部の電流が計算できます。
７.１. 練習
上図を見ながら下表に記入して、電流を求めます。
|
番号 |
問題 |
答 |
|
（ａ） |
①１２Ｖの電池を導線と考えます |
－ |
|
② |
Ｒ２とＲ３の並列合成抵抗値は、 |
Ω |
|
③ |
電池から見た回路全体の抵抗値は、 |
Ω |
|
④ |
Ｒ１に流れる電流は、 |
Ａ |
|
⑤ |
Ｒ２とＲ３に流れる電流は、（分流で…） |
Ａ |
|
（ｂ） |
①６Ｖの電池を導線と考えます |
－ |
|
② |
Ｒ１とＲ２の並列合成抵抗値は、 |
Ω |
|
③ |
電池から見た回路全体の抵抗値は、 |
Ω |
|
④ |
Ｒ３に流れる電流は、 |
Ａ |
|
⑤ |
Ｒ２とＲ３に流れる電流は、（分流で…） |
Ａ |
|
（ｃ） |
（ａ）と（ｂ）で求めた電流を合計します |
－ |
|
① |
Ｒ１に流れる電流は、 |
Ａ |
|
② |
Ｒ２に流れる電流は、 |
上向き・下向き Ａ |
|
③ |
Ｒ３に流れる電流は、 |
上向き・下向き Ａ |
７.２. 答
|
番号 |
問題 |
答 |
|
（ａ） |
①１２Ｖの電池を導線と考えます |
－ |
|
② |
Ｒ２とＲ３の並列合成抵抗値は、 |
１Ω |
|
③ |
電池から見た回路全体の抵抗値は、 |
３Ω |
|
④ |
Ｒ１に流れる電流は、 |
２Ａ |
|
⑤ |
Ｒ２とＲ３に流れる電流は、（分流で…） |
１Ａ |
|
（ｂ） |
①６Ｖの電池を導線と考えます |
－ |
|
② |
Ｒ１とＲ２の並列合成抵抗値は、 |
１Ω |
|
③ |
電池から見た回路全体の抵抗値は、 |
３Ω |
|
④ |
Ｒ３に流れる電流は、 |
４Ａ |
|
⑤ |
Ｒ２とＲ３に流れる電流は、（分流で…） |
２Ａ |
|
（ｃ） |
（ａ）と（ｂ）で求めた電流を合計します |
－ |
|
① |
Ｒ１に流れる電流は、（２Ａ－２Ａ） |
０Ａ |
|
② |
Ｒ２に流れる電流は、（２Ａ＋１Ａ） |
上向き・下向き ３Ａ |
|
③ |
Ｒ３に流れる電流は、（４Ａ－１Ａ） |
上向き・下向き ３Ａ |
コイルはコンデンサに比べると分かり難く感じる部品ですが、下図のように「電流で回るはずみ車」と考えると動作をイメージできます。
上図右側の回路でコイルの働きを説明します。下図左側のように、スイッチをＯＮにすると、コイルに電圧が加わり、はずみ車はゆっくりと回転を始めます。つまり、電流はゆっくりと増えてゆきます。
電流が増えたところで、上図右側のようにスイッチをＯＦＦにすると、はずみ車は勢いが付いているため、ＯＦＦ後も回転を続け、上図右側の経路で電流が流れて、電球が光り続けます。
電球にエネルギを供給しているため、はずみ車は次第に回転が遅くなり、回転のエネルギをすべて電球に送り込むと停止します。
コイルの大きさ（インダクタンス）は、はずみ車の重さに対応しています。ですから大きなコイルは電圧を掛けてもなかなか電流が増加せず、小さなコイルはすぐに電流が増加します。ですから、コイルの大きさは次のように計算します。
６Ｖの電圧を加えて、電流が３Ａに増えるまでに、２秒掛かれば、
コイルの大きさ ＝ ６Ｖ × ２秒 ÷ ３Ａ ＝ ４Ｈ
Ｅｘｃｅｌでは、=E1*T1/I1
ですからコイルに流れる電流は、
コイルの電流 ＝ 電圧 × 時間 ÷ コイルの大きさ
Ｅｘｃｅｌでは、=E1*T1/L1
ところで、鉄やフェライトなどの磁性体の芯（コア）に線を巻くと、コイルを小形にできます。ただし、磁性体には「これ以上強い磁石には成れない」という限度があるので、大きな電流を流すと、その限度に達して「磁気飽和」という現象が起こります。
下図に示す通り、コアが磁気飽和すると「電流がそれ以上増えない」のではなく、「電流が急激に増加する」するので注意が必要です。
つまり、上図右側のグラフ上に示すように、はずみ車があまりに激しく回転すると電線から離れてしまい（コイルが、電線に変身して）電流が流れ放題になるというイメージです。
８.１. 練習
①５Ｖを加えると１μ秒で１０ｍＡに電流が増加しました。このコイルの大きさはいくらですか？
②５０ｍＨのコイルに１５Ｖの電圧を１ｍ秒加えました。電流は何Ａに増加しますか。
８.２. 答
①コイルの大きさ ＝ ５Ｖ ÷ １０ｍＡ ÷ １μ秒 ＝ ５００μＨ =5*1E-6/10E-3
②コイルの電流 ＝ １５Ｖ × １ｍ秒 ÷ ５０ｍＨ ＝ ３００ｍＡ =15*1E-3/50E-3
下図（ａ）の回路でスイッチをＯＮにすると、コイルの上側に＋の電圧が加わります。このため、同図（ｂ）のようにはずみ車の回転が次第に速くなり、下図右のグラフに灰色線で示すように電流が増加して行きます。
ここで例えば電流が１Ａに増加したときにスイッチをＯＦＦにすると、すでにはずみ車は勢い良く回っており、コイルはスイッチがＯＦＦであるにもかかわらず１Ａの電流を流し続けようとします。このためコイルの下側に高い＋の電圧が発生し、離れた接点を火花となって電流が流れます。接点に火花が発生すると（火花は高いエネルギーを消費するので）はずみ車の回転は短時間で停止し、電流は止まります。
このようにコイルに流れる電流を突然止めたとき、高い電圧が発生する現象を「フライバック」と呼び、発生する高い電圧を「フライバック電圧」、無理にスイッチを流れる電流を「フライバック電流」と呼びます。
フライバックによって、接点が火花で傷みますし、半導体であれば破損します。このため下図に示すような、ＯＦＦ時の電流を吸収する回路（スナバ回路）を別に設け、火花の発生を止めます。
スナバ回路の働きについては、別途説明します。
下図（ａ）のように、４Ｖと書かれた電池の電圧を測定すると、確かに４Ｖでした。そこで、下図（ｂ）のように、１Ａ流れる事を期待して、４Ωの抵抗（このように電流を流すための抵抗を「負荷抵抗」と呼びます）を接続すると、なぜか０．８Ａしか流れませんでした。
この理由は、上図（ｃ）に示すように、電池の内部に（隠された）抵抗があり、その結果、合計の抵抗値が５Ωとなり、電流が減少したためです。
このような、「（必要ないのに）素子に入っている抵抗」を「内部抵抗」と呼びます。大きな電流を流す回路では、内部抵抗を考えて設計しないと、電流が思ったより小さくなってしまいます。
もちろん電池メーカーは意地悪で内部抵抗を入れている訳ではありません、電池メーカーは内部抵抗を無くそうと努力しているのですが、構造上止むを得ず入ってしまう訳です。
１０.１. 練習
下図のように、内部抵抗１Ω、起電力４Ｖの電池を２本直列に接続し、１Ａの電流を取り出すためには、負荷抵抗は何Ωにすべきですか。
負荷抵抗： Ω
１０.２. 答
内部抵抗を考えると、回路は下図左のように、各１Ωの内部抵抗があります。また、起電力（電池の電圧）の合計は８Ｖです。ですから、１Ａ流すためには、回路全体の抵抗値を８Ωにする必要があります。このため、６Ωの負荷抵抗を接続すれば、回路に１Ａを流すことが出来ます。
負荷抵抗： ６ Ω
下図（ａ）のように、３Ｖの電源を１０ｋと２０ｋで分圧すると、２０ｋの両端には２Ｖが生じる筈です。そこで、同図（ｂ）のように２０ｋの両端電圧を測定すると、なぜか１．５Ｖしかありませんでした。
この現象も「内部抵抗」が原因です。上図（ｃ）に示すように、本来は電流を流さない筈の電圧計にも、「内部抵抗」（ここでは２０ｋ）があります。
このため、回路に電圧計を接続したことで、下側の２０ｋΩと電圧計の内部抵抗の２０ｋΩが並列接続され、両者が合わさって１０ｋとして作用します。結果として、上側の１０ｋと下側の１０ｋで分圧されたことになり、下側の２０ｋΩの両端には、電源の３Ｖの半分、つまり１．５Ｖが生じたのです。
もちろん計器メーカーは意地悪で内部抵抗を入れている訳ではありません、メーカーは内部抵抗を無くそうと努力しているのですが、構造上止むを得ず入ってしまう訳です。今日では（通常の用途であれば）全く電流が流れないと考えて良い電圧計も増えています。（内部抵抗が１ＴΩ以上あります）
１１.１. 練習
下図のように、１００Ｖの電源から、１０ＭΩを経由して電圧を測定すると、電圧計は５０Ｖを示しました。この電圧計の内部抵抗を答えてください。
内部抵抗 Ω
１１.２. 答
１００Ｖが５０Ｖ（半分）に分圧されているので、上側の抵抗と下側の抵抗（内部抵抗）は同じです。このため内部抵抗は１０ＭΩです。
内部抵抗 １０Ｍ Ω
ここから説明する「仕事」や「仕事率」は、電気の世界と、現実の世界（温度や運動などの身近な事柄）を関連付ける上で役立ちます。たとえば「この機械には何Ｗくらいのモータが必要か？」などを、ざっくり計算できるようになります。ですから、エネルギや仕事については、練習もまじえてちょっと詳しく説明します。
尚、本書では分り易くするため「仕事」に関連する「良く似た」単位や考え方を「全く同じもの」として扱います。そのほうが簡単で、実用上何の問題も無いからです。
下図左側のように、１０２ｇのりんごを１ｍ持ち上げる「仕事」が１Ｎｍ（ニュートンメートル）です。Ｎｍの代わりに、Ｊ（ジュール）や、Ｗ秒（ワット秒）を使う事もできます。また、「仕事」は「エネルギ」とも呼びます。
持ち上げるのではなく、下図右上に示すとおり、荷物を１０２ｇ（１Ｎ）の 力 で、１ｍ横に引き摺る仕事も１Ｎｍです。
また、上図下部に示すとおり、４２００Ｎｍのエネルギがあれば１リットルの水を１℃温めることができます。
１２.１. 練習
下表の仕事を求めて答欄に、各種の単位で記入してください。
|
番号 |
問題 |
答 |
|
① |
３０６ｇの荷物を４ｍ持ち上げる仕事は |
Ｎｍ Ｊ Ｗ秒 |
|
② |
２Ｌの水を５℃暖める仕事は |
Ｎｍ Ｊ Ｗ秒 |
１２.２. 答
|
番号 |
問題 |
答 |
|
① |
３０６ｇの荷物を４ｍ持ち上げる仕事は ３０６ｇ÷１０２ｇ＝３Ｎ ３Ｎ×４ｍ＝１２Ｎｍ |
１２Ｎｍ １２Ｊ １２Ｗ秒 |
|
② |
２Ｌの水を５℃暖める仕事は ４２００Ｊ×２Ｌ×５℃＝４２０００Ｊ |
４２０００Ｎｍ ４２０００Ｊ ４２０００Ｗ秒 |
仕事率は「１秒間にできる仕事の量」で、単位はＮｍ／秒です。「１秒にできる」というところが、「仕事」との違いです。（Ｎｍ／秒の代わりに、Ｊ／秒や、Ｗを使う事もできます）
下図に示すとおり、荷物を１０２ｇ（１Ｎ）の 力 で引っ張り、１秒間あたり、１ｍずつ引きずることができれば、仕事率は１Ｎｍ／秒（ニュートンメートル毎秒）です。１秒間に１Ｎｍの仕事ができますから。１０秒間待てば、１０Ｎｍの仕事ができます。
また、上図右側にあるように、電圧１Ｖで１Ａの電流が流れているとき「１Ｗ（ワット）の電力が消費されている」と言います。
電力Ｗと仕事率Ｎｍ／秒（Ｊ／秒）は同じもので、１Ｗの電力を無駄なく使えば、１秒間に１Ｎｍの仕事ができます。
電力は電圧と電流を掛けて、次のように計算して求めます。
電力 ＝ 電圧 × 電流
例えば ２０Ｖ × ５Ａ ＝ １００Ｗ
オーム則によれば、電圧は電流×抵抗、電流は電圧÷抵抗ですから、電力は次の計算でも求めることができます。
電力 ＝ 電流２ × 抵抗 （電流２は電流×電流の事です）
例えば ５Ａ２ × ４Ω ＝ １００Ｗ
電力 ＝ 電圧２ ÷ 抵抗
例えば ２０Ｖ２ ÷ ４Ω ＝ １００Ｗ
１００Ｗの仕事率は、他の単位を使って表すこともできます。
１００Ｗ ＝ １００Ｊ／秒 ＝ １００Ｎｍ／秒
（１０２ｇのりんごを、一秒で１００ｍ持ち上げます）
このように仕事や仕事率では、複数の単位が、ほぼ同じ意味で使われます。それらの単位を下表に示します。
|
種類 |
単位 |
呼び名 |
意味 |
|
仕事 |
Ｎｍ |
ニュートンメートル |
１Ｎ（１０２ｇ）の力で１ｍ引っ張る仕事 |
|
Ｊ |
ジュール |
||
|
Ｗ秒 |
ワットセカンド |
１Ｖで１Ａの電流を１秒間流す仕事 |
|
|
熱量 |
ｋｃａｌ |
キロカロリー |
１ｋｇの水を１℃温めるのに必要な熱量 ４２００Ｊ＝１ｋｃａｌ |
|
仕事率 |
Ｎｍ／秒 |
ニュートンメートル毎秒 |
１Ｎ（１０２ｇ）の力で １秒あたり１ｍ引っ張る仕事率 |
|
Ｊ／秒 |
ジュール毎秒 |
||
|
Ｗ |
ワット |
１Ｖで１Ａの電流を流す仕事率 |
１３.１. 練習
下表の仕事を求めて答欄に、各種の単位で記入してください。但し、エネルギは目的のために無駄なく利用されると考えてください。
|
番号 |
問題 |
答 |
|
① |
４秒間に５１０ｇの荷物を２０ｍ持ち上げる仕事率は |
Ｎｍ／秒 Ｊ／秒 Ｗ |
|
② |
１０分で３Ｌの水を５℃暖める仕事率は |
Ｎｍ／秒 Ｊ／秒 Ｗ |
|
④ |
３０Ｖ２Ａのモータの仕事率は |
Ｎｍ／秒 Ｊ／秒 Ｗ |
|
④ |
３０Ｖ２Ａのモータが、２０秒間動作して行う仕事は |
Ｎｍ Ｊ Ｗ秒 |
１３.２. 答
|
番号 |
問題 |
答 |
|
① |
４秒間に５１０ｇの荷物を２０ｍ持ち上げる仕事率は ５１０÷１０２＝５Ｎ ５Ｎ×２０ｍ÷４秒＝２５ |
２５Ｎｍ／秒 ２５Ｊ／秒 ２５Ｗ |
|
② |
１０分で３Ｌの水を５℃暖める仕事率は ３Ｌ×５℃×４２００＝６３０００Ｊ ６３０００Ｊ÷６００秒＝１０５Ｊ／秒 |
１０５Ｎｍ／秒 １０５Ｊ／秒 １０５Ｗ |
|
④ |
３０Ｖ２Ａのモータの仕事率は ３０Ｖ×２Ａ＝６０Ｗ |
６０Ｎｍ／秒 ６０Ｊ／秒 ６０Ｗ |
|
④ |
３０Ｖ２Ａのモータが、２０秒間動作して行う仕事は ３０Ｖ×２Ａ＝６０Ｗ ６０Ｗ×２０秒＝１２０Ｗ秒 |
１２０Ｎｍ １２０Ｊ １２０Ｗ秒 |
１３.３. 練習
下図の回路の①～④の電圧や電力を求めてください。
１３.４. 答
①②分圧の法則により、①は１０Ｖ、②は２０Ｖ
③１０Ｖ×１０Ｖ÷１ｋΩで、１００ｍＷ
④２０Ｖ×２０Ｖ÷１ｋΩで、４００ｍＷ
１３.５. 練習
下図のように、１０Ｖ５００ｍＡでモータを駆動して１．０２ｋｇの荷物を持ち上げます。このモータを１０秒間動作させれば、何メートル持ち上げることができますか。下表右側の列に書き込んで答えてください。但し、モータに加えた電力は無駄なく荷物の持ち上げる事に使われるとします。
|
番号 |
項目 |
答 |
|
① |
モータの消費電力 |
Ｗ |
|
② |
モータの１０秒間の仕事 |
Ｎｍ |
|
③ |
荷物を引く力 |
Ｎ |
|
④ |
荷物を引く距離 |
ｍ |
１３.６. 答
|
番号 |
項目 |
答 |
説明 |
|
① |
モータの消費電力 |
５Ｗ |
１０Ｖ×５００ｍＡ |
|
② |
モータの１０秒間の仕事 |
５０Ｎｍ |
５Ｗ×１０秒 （５Ｎｍ／秒×１０秒） |
|
③ |
荷物を引く力 |
１０Ｎ |
１０２０ｇ／１０２＝１０Ｎ （１Ｎ＝１０２ｇｗ） |
|
④ |
荷物を持ち上げる距離 |
５ｍ |
５０Ｎｍ／１０Ｎ |
実際には様々なところでエネルギが（モータが発熱する等で）無駄になり、持ち上げる高さは小さくなります。
１３.７. 練習
下図のように、１００Ｖ、８．４Ａのヒータを使って、電気ポットに入った２０℃の水２リットルを、８０℃まで温めるには、何分必要ですか。但し、熱は外に逃げないものとします。
|
番号 |
項目 |
答 |
|
① |
暖めて上昇させる温度 |
℃ |
|
② |
暖めるのに必要なエネルギー |
Ｊ |
|
③ |
ヒータの電力 |
Ｗ |
|
④ |
暖める時間（秒） |
秒 |
|
⑤ |
暖める時間（分） |
分 |
１３.８. 答
|
番号 |
項目 |
答 |
説明 |
|
① |
暖めて上昇させる温度 |
６０℃ |
８０℃－２０℃ |
|
② |
暖めるのに必要なエネルギー |
５０４０００Ｊ |
２Ｌ×６０℃×４２００Ｊ |
|
③ |
ヒータの電力 |
８４０Ｗ |
１００Ｖ×８．４Ａ |
|
④ |
暖める時間（秒） |
６００秒 |
５０４０００÷８４０ |
|
⑤ |
暖める時間（分） |
１０分 |
６００秒÷６０ |
電力量は、電力（仕事率）に時間を掛けて、使用した電気エネルギ（仕事）の量を求めたものです。ですから電力量は、基本的にはＪ（ジュール）やＷ秒（ワットセコンド）と同じタイプ（仕事）の単位です。
ＪやＷ秒との違いは、時間に「秒」ではなく「時間」（アワー：ｈ）を使うところです。ですから単位も、Ｗｈ（ワットアワー）やｋＷｈ（キロワットアワー）です。１時間は３６００秒ですから、１Ｗｈは３６００Ｗ秒（３６００Ｊ）です。
私たちが支払う電力料金も、電力量を元に決められます。つまり、使ったエネルギーの分、代金を取られる訳です。
１４.１. 練習
下図の通り、１００Ｖ８．４Ａのヒータを、毎日２時間、３０日間動作させると、何ｋＷｈの電力量を消費しますか？
|
番号 |
項目 |
答 |
|
① |
ヒータの電力 |
Ｗ |
|
② |
２時間動作時の電力量 |
ｋＷｈ |
|
③ |
３０日間動作時の電力量 |
ｋＷｈ |
１４.２. 答
|
番号 |
項目 |
答 |
説明 |
|
① |
ヒータの電力 |
８４０Ｗ |
電圧×電流 |
|
② |
２時間動作時の電力量 |
１．６８ｋＷｈ |
電力×時間 |
|
③ |
３０日間動作時の電力量 |
５０．４ｋＷｈ |
一日電力量×３０ |
本書ではデシベルはしばらく（伝達関数のあたりまでは）出てきません。ややこしい割りには使う機会が少ないです。このため、本項は読み飛ばしておき、必要が生じてから読むこともできます。
さて、デシベルは「電力の倍率に付いているゼロの数を数えて１０倍したもの」を表す単位です。（あとで詳しく説明します）「電力の倍率」は「利得」や「ゲイン」とも呼びます。
電力の倍率は、たとえば下表①～③の灰色部で示すように、１Ｗが１００００Ｗに増加すれば「電力１００００倍」です。当然、倍率は次のように計算できます。
つまり、
ところが、「１００００倍」とゼロを沢山書くのは面倒ですから、下表④列のように、「ゼロの数」だけを書くことにして、「電力１００００倍」を「４[Ｂ]」（ベル）と呼びます。電力１００倍なら２[Ｂ]、電力１０００００００００倍でも９[Ｂ]と、短く書くことができます。
|
① |
② |
③ |
④ |
⑤ |
|
入力 電力 |
出力 電力 |
電力の 倍率 |
倍率の0の数 [B]ベル |
0の数の10倍 [dB]デシベル |
|
1W |
0.0001W |
0.0001倍 |
-4 [B] |
-40 [dB] |
|
0.001W |
0.001倍 |
-3 [B] |
-30 [dB] |
|
|
0.01W |
0.01倍 |
-2 [B] |
-20 [dB] |
|
|
0.1W |
0.1倍 |
-1 [B] |
-10 [dB] |
|
|
1W |
1倍 |
0 [B] |
0 [dB] |
|
|
10W |
10倍 |
1 [B] |
10 [dB] |
|
|
100W |
100倍 |
2 [B] |
20 [dB] |
|
|
1000W |
1000倍 |
3 [B] |
30 [dB] |
|
|
10000W |
10000倍 |
4 [B] |
40 [dB] |
しかし、あまり大きな倍率になると、ゼロの数を数える事さえ面倒です。このため「ゼロの数を数える関数」ｌｏｇ１０を使います。たとえば、Ｅｘｃｅｌでセルに=LOG(1000000000,10)と入力すると、「９」と表示されます。式で書くと、
ｌｏｇ１０（１０００００００００）＝９
です。ですから、電力の倍率のゼロの数[Ｂ]（ベルの値）は、ゼロを数える関数ｌｏｇ１０を使って、
ｌｏｇ１０（電力１００００倍）＝４[Ｂ]
エクセルでは=LOG(10000,10)と入力すれば、4と表示される。
つまり、ベルの値＝ｌｏｇ１０（電力の倍率）[Ｂ]
のようにして計算できます。
ところで、１[Ｂ]増えるだけで、１０倍も大きくなるのは、ちょっと大胆すぎて使い難いです。たとえば、「１[Ｂ]大盛りにしてくれ」と頼むと、１０人前の大盛りが出てくる」訳です。
そこで、上表⑤列のように、１０[ｄＢ]で１[Ｂ]となる単位、[ｄＢ]（デシベル）を使います。１０倍にしただけですから、電力１００００倍の場合は次のように計算できます。
１０×ｌｏｇ１０（電力１００００倍）＝４０ｄＢ
エクセルでは=10*LOG(10000,10)と入力すれば40と表示される。
つまり、デシベルの値＝１０×ｌｏｇ１０（電力の倍率）[ｄＢ]
Ｂ（ベル）の代わりにｄＢ（デシベル）を使うのは、１．２[Ｌ]（リットル）と呼ぶ代わりに、値を１０倍して、１２[ｄＬ]（デシリットル）と呼ぶのと同じです。
１[Ｂ]は１０倍ですが、１[ｄＢ]は約１．２６倍です。１[ｄＢ]の大盛りは、２６％増量です。３[ｄＢ]なら２倍盛り、これなら、使い勝手が良さそうです。
１５.１. 練習
１ｍＷを増幅器に入力したところ、１０Ｗが出力された、利得は何ｄＢか
１５.２. 答
エクセルで=10*LOG(10/1E-3,10)と入力して、利得は40dB
（1E-3は1mの意味、1E3なら1kの意味）
さて、１００倍なら「ゼロ２つ」と数えられますが、例えば３０倍はどうでしょう。３０倍は、１０倍（１個）よりは大きいし、１００倍（２個）よりは小さいと思われます。幸い、ｌｏｇ１０はこのような場合にも答を出してくれます。
エクセルでは=LOG(30,10)と入力
つまり、３０倍のゼロの個数は１．５個程度で、確かに１より大きく２より小さいです。
１６.１. 練習
１．５ｍＷを増幅器に入力したところ、１００Ｗが出力された、利得は何ｄＢか
１６.２. 答
エクセルで=10*LOG(100/1.5E-3,10)と入力して、利得は約48.2dB
下図の回路で、電圧を１０倍、１００倍、と大きくすると、電流も１０倍、１００倍と増加します。その結果、電力は、１００倍、１００００倍と電圧以上の勢いで大きくなります。
つまり、下表着色部で示すように、電圧の倍率のゼロの数が、１、２、３…と増加すると、電力の倍率のゼロの数（ベルの値）は、２、４、６…と２倍のペースで大きくなります。
|
電圧 |
電力 |
|||
|
倍率 |
倍率の0の数 |
倍率 |
倍率の0の数 [B]ベル |
0の数の10倍 [dB]デシベル |
|
0.1倍 |
-1 |
0.01倍 |
-2[B] |
-20[dB] |
|
1倍 |
0 |
1倍 |
0[B] |
0[dB] |
|
10倍 |
1 |
100倍 |
2[B] |
20[dB] |
|
100倍 |
2 |
10000倍 |
4[B] |
40[dB] |
|
1000倍 |
3 |
1000000倍 |
6[B] |
60[dB] |
電圧の倍率が１０００倍のとき、電力の倍率は１００００００倍になります。このため電圧の倍率１００倍からベルの値を求めるには、ゼロの数を２倍して、
２×ｌｏｇ１０（電圧１０００倍）＝２×３＝６[Ｂ]
Ｅｘｃｅｌでは=2*log(1000,10)と入力すれば6[B]と表示される。
つまり、ベルの値＝２×ｌｏｇ１０（電圧の倍率）[Ｂ]
と計算します。
電圧の倍率から「ｄＢの値」を求める場合は、「Ｂの値」を１０倍すれば良いので、
１０×２×ｌｏｇ１０（電圧１０００倍）＝１０×２×３＝６０[ｄＢ]
Ｅｘｃｅｌでは=20*log(1000/1,10)と入力すれば60[dB]と表示される。
つまり、デシベルの値＝２０×ｌｏｇ１０（電圧の倍率）[ｄＢ]
と計算します。
このように、電圧からｄＢを求めるときに出てくる２０は、ベルにするための１０と、電圧比を電力比にするための２が合わさったものです。
１７.１. 練習
１．５ｍＶを増幅器に入力したところ、１００Ｖが出力された、利得は何ｄＢか
１７.２. 答
エクセルで=20*LOG(100/1.5E-3,10)と入力して、利得は約96.5dB
たとえば電力１００００倍のゼロの個数（ベルの値）４は、次のように計算できました。
ｌｏｇ１０（１００００倍）＝ゼロ４個
つまり、ベルの値＝ｌｏｇ１０（電力の倍率）
逆に、ゼロの個数（つまり、４［Ｂ］）から、電力１００００倍は、
１０４＝１００００倍
エクセルでは、=10^4あるいは=POWER(10,4)と入力すれば10000倍と表示される。
つまり、電力の倍率＝１０ベルの値
で求めることができます。
さて、４０［ｄＢ］は４［Ｂ］でしたから、電力の倍率を４０［ｄＢ］から求めるときは、デシベルの値を１０で割って、ゼロの個数を求めて、
１０４０÷１０＝１００００倍
エクセルでは、=10^(40/10)あるいは=POWER(10,40/10)と入力すれば10000倍と表示される。
つまり、電力の倍率 ＝１０デシベルの値÷１０
と計算できます。
１８.１. 練習
２６ｄＢの利得のある増幅器に２２ｍＷの信号を入力した、出力は何Ｗとなるか
１８.２. 答
電力の倍率を２６ｄＢから求めて、２２ｍＷに掛ければよい、つまりエクセルで=22E-3*10^(26/10)と入力して、約8.76W
４０［ｄＢ］（４［Ｂ］）なら電力は１００００倍、電圧は１００倍でした。つまり、電力のゼロの数を半分に減らすと電圧の倍率になりました。そのため、電力が４０［ｄＢ］のとき電圧の倍率は、
１０４０÷１０÷２＝電圧１００倍
エクセルでは、=10^(40/20)あるいは=POWER(10,40/20)と入力すれば100倍と表示される。
つまり、電圧の倍率＝１０デシベルの値÷２０
と計算できます。
１９.１. 練習
２６ｄＢの利得のある増幅器に２２ｍＶの信号を入力した、出力は何Ｖとなるか
１９.２. 答
２６ｄＢの電圧の倍率は、エクセルで=10^(26/20)倍、２２ｍＶを入力したときの出力電圧は、エクセルで=22E-3*10^(26/20)と入力して、約439mV
下表のデシベル値は、切りの良い倍率になるので、目安として利用できます。
|
デシベル |
電力 |
電圧 |
|
１ｄＢ |
約１．２６倍 |
約１．１２倍 |
|
３ｄＢ |
約２倍 |
約１．４１倍 |
|
６ｄＢ |
約４倍 |
約２倍 |
|
７ｄＢ |
約５倍 |
約２．２４倍 |
|
９ｄＢ |
約８倍 |
約２．５１ |
|
１０ｄＢ |
１０倍 |
約３．１６倍 |
１０、１００、１０００倍のデシベルは、１０、２０、３０と分るので、上表と組み合わせて様々な値で目安を知ることができます。
ｄＢの足算は、倍率の掛け算になり、倍率の掛け算は、ｄＢの足算になります。このため下表の例では、３３ｄＢの場合、３０ｄＢ＋３ｄＢと考えて、３０ｄＢ→１０００倍、上表より３ｄＢ→２倍ですから、１０００倍×３倍で２０００倍と概算できます。
|
デシベルの世界 たし算 |
３３ｄＢ |
||
|
３０ｄＢ |
＋ |
３ｄＢ |
|
|
倍率の世界 掛け算 |
１０００倍 |
× |
２倍 |
|
２０００倍 |
|||
逆に、電力２０００倍の場合、２倍×１０００倍と考えて、２倍→３ｄＢ、１０００倍→３０ｄＢですから、３ｄＢと３０ｄＢを加えて、３３ｄＢと概算できます。
２０.１. 問題
次の表の に適切な概算値を記入して、表を完成して下さい。
|
デシベル |
電力 |
|
３３ｄＢ |
２０００倍 |
|
２９ｄＢ |
倍 |
|
１６ｄＢ |
倍 |
|
ｄＢ |
５０倍 |
|
ｄＢ |
８０００倍 |
２０.２. 答
|
デシベル |
電力 |
考え方 |
|
３３ｄＢ |
２０００倍 |
３０＋３ｄＢ⇔１０００倍×２倍 |
|
２９ｄＢ |
８００倍 |
２０＋９ｄＢ⇔１００倍×８倍 |
|
１６ｄＢ |
４０倍 |
１０＋６ｄＢ⇔１０倍×４倍 |
|
１７ｄＢ |
５０倍 |
１０＋７ｄＢ⇔１０倍×５倍 |
|
３９ｄＢ |
８０００倍 |
３０＋９ｄＢ⇔１０００倍×８倍 |
=D1*PI()/180
=D1*180/PI()
= 5
